Studiens syfte är att bilda kunskap om elevers förståelse av likhetstecknet och hur undervisning om likhetstecknet i årskurs 3 kan varieras för att bli så effektiv som möjligt. Syftet ska besvaras genom frågeställningarna: vilka variationsmönster som de studerade eleverna kan möta och vilka kritiska aspekter som elever kan identifiera. Kritiska aspekter är det som elever behöver identifiera för att förstå det som ska läras. Variationsmönster innebär att det som är kritiskt i undervisningen ska varieras för att synliggöras. Studien har sin ansats i variationsteorin, där variationsmönster och kritiska aspekter är centrala begrepp.

En lektion observerades i årskurs 3 och sex elever valdes ut och intervjuades om likhetstecknet. Resultatet av studien visar att eleverna mötte sex kritiska aspekter i undervisningen. I varje kritisk aspekt mötte eleverna ett eller flera variationsmönster. Studien visar också att alla de intervjuade eleverna har en relationell och instrumentell förståelse av likhetstecknet. Eleverna har förståelse av en kritisk aspekt, som den observerade lektionen inte hade berört, nämligen att alla tal måste ingå i en uppgift för att lösningen ska vara korrekt. Fyra av sex elever har förståelse av den kritiska aspekten att det ska vara ekvivalens i en kedja av likheter. Resultatet visar också att elevernas förståelse av likhetstecknet inte är beroende av att de möter variationsmönster i undervisningen, men att de möter de kritiska aspekterna på något sätt.

Läroboken styr till stor del vilket innehåll som behandlas i matematikundervisningen. Med detta i åtanke har fem svenska läroboksserier har utsatts för en latent och manifest innehållsanalys av hur de presenterar de aritmetiska räknelagarna och räknereglerna. I studien framkommer både kvantitativ och kvalitativ data. Den kvantitativa datan indikerar att få läroboksserier tar upp associativa och distributiva lagen explicit. Den kvalitativa datan pekar på att räknelagarna ofta beskrivs i andra sammanhang. Flera exempel i läroböckerna gör generaliseringar som riskerar leda till begränsad förståelse för räknelagarna och räknereglerna.

Studiens syfte är att undersöka sju lärares val av undervisningsmaterial vid introduktionen av subtraktion. Utgångspunkten i studien är taget ur livsvärldsfenomenologin, och data har samlats in genom semistrukturerade intervjuer där det kvalitativa datamaterialet sedan analyserats genom olika teman. Resultatet visar att samtliga lärare var överens om att konkret och laborativt material var att föredra vid introduktionen av subtraktion. Läroböckerna användes istället vid ett senare stadium för att hjälpa eleverna att befästa kunskaperna på en mer abstrakt nivå.

Algebra i matematik kan handla om så mycket mer än svåra ekvationer och beräkningar. I de yngre åldrarna, åk 1-3, är geometriska mönster en del av det centrala innehållet i algebra. Genom att arbeta med mönster förbereder vi eleverna inför den svårare algebran och de lär sig att uttrycka sig generellt. Många studier visar fördelarna med mönster i tidiga åldrar, exempelvis lär sig eleverna se samband och även att göra generaliseringar.

Denna studie är en läromedelsgranskning av läromedlet Favorit matematik i årskurserna 1-3. Syftet är att bidra med kunskap kring vilka matematiska förmågor eleverna ges utrymme att utveckla vid arbetet med mönster i Favorit matematik. Fokus ligger även på att undersöka vilken av mönstertyperna, upprepade mönster och växande geometriska mönster, som behandlas mest. Metoden som har använts är en tabell där mönstertyperna och förmågorna skrevs in.

Resultatet visar på brister när det handlar om arbete med mönster i Favorit matematik. Läraren måste i sin undervisning arbeta med mönster utanför läroboken för att alla förmågor ska få utrymme. Det visas inte heller på att mönster är något inom algebra utan det kopplas mestadels till andra områden i det centrala innehållet i kursplanen. De flesta uppgifterna i läroböckerna handlade om att fortsätta på ett mönster som var ett upprepat mönster. Därför kopplades merparten av uppgifterna till den första matematiska förmågan som handlar om att lösa problem och värdera sina strategier och metoder. Resultatet visar också att växande geometriska mönster inte behandlas mycket i Favorit matematik.

Det valda ämnesområdet för litteraturstudien är sociomatematiska normer, eftersom dessa är oundvikliga och förekommer i alla matematikklassrum. Forskningen kring ämnet är begränsad trots att sociomatematiska normer är en del av lärares och elevers vardag. Syftet med litteraturstudien är att belysa sociomatematiska normer som förekommer i den dagliga verksamheten i skolan samt deras påverkan. Utgångspunkten i studien är både ur ett lärar- och ur ett elevperspektiv. Följande frågeställningar behandlas för att uppnå syftet med studien:

• Hur skapas sociomatematiska normer av lärare och elever i matematikklassrummet?
• På vilket sätt kan olika sociomatematiska normer samt en förändring av dessa påverka elevers lärande?

Tillvägagångssättet i studien är informationssökning i olika söktjänster. Den funna analyserade litteraturen är vetenskapligt granskad och riktar sig mot grundskolan. Vidare består litteraturen av både internationell och nationell forskning. Resultatet i studien visar att sociomatematiska normer skapas genom interaktion mellan elever och mellan elever och lärare. Genom ett sådant skapande av dessa normer uppstår ett flertal lärandemöjligheter för såväl lärare som elever. Sociomatematiska normer är unika för varje elevgrupp och matematikklassrum. Elevers lärande påverkas av sociomatematiska normer och för att påverkan ska vara positiv krävs acceptans av och förståelse för dessa normer från både lärare och elever.  Även vid inkludering och exkludering av normer i matematikklassrummet påverkas elevers lärande.

Sociomatematiska normer är ett komplext ämne och forskning visar att lärare har bristfällig kunskap kring ämnesområdet. Följaktligen finns ett stort behov av fortsatt forskning och en utveckling av kunskaper kring sociomatematiska normer. 

Att arbeta som lärare kräver att du erhåller vissa kunskaper. Du ska ha tillräckliga ämneskunskaper och pedagogiska kunskaper. Du ska även ha kunskaper om hur planering, utförande och utvärdering av undervisningen sker. Att skapa en lektionsplanering och integrera alla nödvändiga delar av en undervisning är komplext. Därför utvecklade Shulman (1987) sex processdelar undervisningen följer.

Frågan är om dagens lärare använder dessa kunskaper. Syftet är därför att bidra med förståelse om vilka kunskaper lärare besitter samt hur planering av undervisning sker. Detta genom att låta lärarna planera en undervisning inom ämnet volym. Studien genomfördes genom kvalitativa intervjuer med fem stycken lärare. Resultatet av studien visar att alla lärarna följde processdelarna. Det var emellertid mycket som skiljde sig mellan lärarna. Forskning säger att erfarenhet, utbildning och fortbildning har betydelse för lärares planeringsförmåga. Resultatet av studien visar att detta i viss utsträckning har betydelse och att lärares förmågor är olika. Dock visar egen analys att det mer beror på att alla lärare är olika individer.

Arbetet med mönster, genom dess innehållande av strukturer och samband, är en betydelsefull del inom området algebra. Genom att bedriva undervisning i de lägre årskurserna om matematiska mönster kan elever få en god grund att stå på i mötet med den mer komplexa algebran. Studien är en kvalitativ intervjustudie med inspiration av fenomenografi, där elever i årskurs 1 ombeds att lösa ett antal uppgifter om upprepade samt växande geometriska mönster. Utifrån denna metod syftar studien till att bidra med kunskap om hur elever i de yngre åldrarna uppfattar matematiska mönster. Genom detta syfte, bidrar studien också till förståelse för vad det finns för kritiska aspekter i samband med erfarandet av de två mönstertyperna. När kunskap om ovannämnda delar finns tillhands, kan lärare designa undervisning på ett sätt som gynnar elevers lärande. 

Resultatet påvisar ett antal kritiska aspekter i samband med förståelsen av upprepade och växande geometriska mönster. Det kan vara kritiskt att identifiera den upprepade delen i ett upprepat mönster och att fortsätta ett upprepat mönster enligt samma struktur. Vidare kan det vara kritiskt att urskilja en växande struktur och ett regelbundet numeriskt samband i de växande mönstren. Upptäcka ett generellt samband i ett växande geometriskt mönster är ytterligare en kritisk aspekt som framkommer i studien. 

Elever uppfattar mönster på många skilda sätt, vilket lärare bör ha i åtanke då de planerar och genomför undervisning. Det finns viktiga aspekter som bör synliggöras i undervisningen så att elever kan utveckla en förståelse för upprepade och växande mönster.

This paper examines differences in how three Grade 3 South African teachers responded to students’ incorrect answers in whole class teaching of the part-whole relationship in additive missing number problems. Nine video recorded lessons, taught by three teachers, were analysed, with attention paid to teaching episodes containing incorrect students’ answers. The variation theoretical analyses indicated differences in the ways teachers responded to incorrect answers. We argue that different ways of responding to incorrect answers may provide different learning possibilities.

In this article, we present a coding framework based on simultaneity and connections. The coding focuses on microlevel attention to three aspects of simultaneity and connections: between representations, within examples, and between examples. Criteria for coding that we viewed as mathematically important within part-whole additive relations instruction were developed. Teachers’ use of multiple representations within an example, attention to part-whole relations within examples, and relations between multiple examples were identified, with teachers’ linking actions in speech or gestures pointing to connections between these. In this article, the coding framework is detailed and exemplified in the context of a structural approach to part-whole teaching in six South African grade 3 lessons. The coding framework enabled us to see fine-grained differences in teachers’ handling of part-whole relations related to simultaneity of, and connections between, representations and examples as well as within examples. We went on to explore the associations between the simultaneity and connections seen through the coding framework in sections of teaching and students’ responses on worksheets following each teaching section.

Svenska elever visar kontinuerligt försämrade kunskaper kring begreppet platsvärde och vid en noggrannare granskning av TIMSS (Skolverket, 2012) synliggjordes att begreppet platsvärde, som är förknippat med vårt positionssystem, är ett centralt begrepp för elevers förståelse av talbegrepp. PISA rapporten (Skolverket, 2013) påvisar ytterligare att det går att urskilja försämrade kunskaper om elevers uppfattningar om siffrors platsvärden vid beräkningar av standardalgoritmer. Studien genomfördes för att undersöka och bidra till forskningen om vilka möjligheter elever ges till att förstå positionssystemet.

Studien syftar till att bilda kunskap om elevers möjligheter att förstå positionssystemet i årskurs 6. De frågeställningar studien syftar till att besvara är:

 Vilka variationsmönster möter elever i undervisning om positionssystemet?

 Vilka kritiska aspekter kan urskiljas vid elevers beskrivningar av positionssystemet?

För att få svar på frågeställningarna och därmed uppfylla syftet med studien har undervisning observerats och elever intervjuats. I studien finns inslag av variationsteorin. Teorin valdes för att göra det möjligt att förstå hur olika sätt att behandla ett valt ämnesinnehåll relaterar till elevers möjligheter att lära.

Studiens resultat visar att elever möter olika variationsmönster i undervisning om positionssystemet, däribland kontrast, generalisering och separation. Vid elevers beskrivningar av positionssystemet kunde det urskiljas tre kritiska aspekter, positionens värde och nollans betydelse i ett flersiffrigt tal, talens egenskaper och talsortsuppfattning. Slutsatsen är att elever har olika möjligheter att utveckla förståelse för positionssystemet i årskurs 6. Möjligheterna ser olika ut beroende på vilka kritiska aspekter eleverna urskilt i undervisning om positionssystemet.

Internationell forskning och undersökningar visar att elever har svårt att lära sig algebra i allmänhet samt att konstruera och beskriva talföljder i synnerhet. Undervisningen, som fokuserar på olika undervisningsmetoder i stället för på det som krävs för att lära, anses vara en av de viktigaste orsakerna till detta.

Studiens syfte är att, utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv, studera det som är kritiskt för elever i årskurs 3 och 4 när de ska lära sig att konstruera och beskriva vad som kännetecknar olika talföljder. I artikeln beskrivs de identifierade kritiska aspekterna och hur dessa gjordes synliga i undervisningen genom variation. Learning study användes som metod.

Resultatet visar att eleverna utvecklade förmågan att beskriva talföljder när det i undervisningen gavs möjlighet för dem att urskilja sambandet mellan talen och talens inbördes förhållande till varandra, urskilja helheten, förstå att det finns ett system mellan talen som kan varieras i oändlighet och upptäcka att talföljder kan byggas upp på olika sätt. Detta benämns i studien som kritiska aspekter.

Finns det matematik i programmering? Den svenska regeringen och Skolverket verkar ha den uppfattningen. Det finns dock åsikter som pekar på motsatsen.

På grund av samhällets ökade digitalisering gav regeringen Skolverket i uppdrag att ta fram ett förslag på Nationella it- strategier för skolväsendet (2016). Förslaget godtogs av regeringen den 9 mars 2017. Avsikten med förslaget är att utveckla elevers digitala kompetens genom att bland annat införa programmering i läroplanen, främst i kursplanen för matematik. Den vetenskapliga grunden för förslaget har däremot ifrågasatts. Denna litteraturstudie syftar därför till att undersöka förhållandet mellan programmering och matematik gällande vilka förmågor som kan utvecklas. De förmågor som programmering i forskning beskrivs kunna utveckla, jämförs med de fem förmågorna i kursplanen för matematik. Studiens slutsats är att forskning visar att programmering kan utveckla flera förmågor som kan anses vara matematiska, exempelvis problemlösningsförmåga, kreativ förmåga och samarbetsförmåga.

Följande examensarbete är en interventions-studie med utgångspunkt i aritmetik-undervis-ning och tals del-helhetsrelationer. Vissa fors-kare menar att del-helhetsrelationer är en grund för vidare aritmetikkunskaper, medan andra forskare menar att det är viktigare att elever utvecklar räkneförmågor. Syftet med denna studie är att undersöka hur undervis-ning om tals del-helhetsrelationer i addition och subtraktion kan utformas ur ett variat-ionsteoretiskt perspektiv. Lärandeobjektet för undervisningssekvensen är att identifiera ett okänt tal i en del-helhetsrelation inom talom-rådet 0-10. Undersökningen gjordes med 13 elever i för-skoleklass genom ett förtest, en undervis-ningssekvens om tre lektioner samt ett efter-test. Undervisningssekvensen och testerna vi-deoinspelades för att utgöra underlag för ana-lys. Lektionerna gjordes för att visa olika vari-ationsmönster som kontrast, separation, gene-ralisering och fusion för att eleverna skulle kunna urskilja kritiska aspekter. Exempelvis användes ”part-whole bars” och kommutati-vitet i undervisningen för att synliggöra de kri-tiska aspekterna. De kritiska aspekterna som kom fram i resultatet var att urskilja att de två delarna ryms i och tillsammans är lika mycket som helheten, kunna ta hjälp av två tal i en relation mellan helhet och delar för att finna det tredje talet, kunna ta hjälp av helheten och en del för att hitta den andra delen och att kunna ta hjälp av kunskaper om tidi-gare del-helhetsrelationer för att hitta okända tal i nya del-helhetsrelationer.

Syftet med studien är att bilda kunskap om hur elever i årskurs 1 förstår likhetstecknet. De frågeställningar studien syftar till att besvara är hur elever i årskurs 1 uppfattar likhetstecknet och vilka kritiska aspekter som finns i elevers beskrivningar av likhetstecknet. Syftet uppfylls i en kvalitativ observations- och intervjustudie. Fem elever i den observerade klassen intervjuades om sina uppfattningar av likhetstecknet. Eleverna löste även matematikuppgifter med fokus på likhetstecknet och intervjuades om sina lösningar på uppgifterna. Det finns i studien inslag av fenomenografin och variationsteorin. Resultatet är att eleverna i klassen uppfattar likhetstecknet både relationellt och instrumentellt. Resultatet visar att olika elever har urskilt olika kritiska aspekter av likhetstecknet. Analysen visar att en elev kan urskilja en kritisk aspekt i en viss uppgiftsstruktur, men inte urskilja samma kritiska aspekt i en annan uppgiftsstruktur.

Ämnesområdet för litteraturstudien är matematik, mer specificerat mot området geometri, gällande elevers lärande om geometriska figurer utifrån van Hiele´s teori. Det finns flera problemområden inom matematik, ett av dem är elevers svårigheter att benämna geometriska figurer och dess egenskaper med korrekt terminologi. Elevers matematiska språk och erfarenheter anses idag vara influerat av vardagligt språk, exempelvis benämns fyrhörning frekvent som fyrkant. Därför är syftet med vår litteraturstudie att klargöra relationen mellan undervisning gällande geometriska figurer och elevers lärande, utifrån van Hiele´s teori. Genomförande av denna litteraturstudie har gjorts genom analys av vetenskapliga publikationer i form av doktorsavhandlingar, forskningsartiklar och en antologi. Publikationerna som använts har hittats i databaserna ERIC och Google Scholar. Analys har gjorts med hjälp av en analysmall för att synliggöra likheter och skillnader som framgick mellan publikationerna. Urvalet som gjorts har baserats på våra frågeställningar. Genom denna litteraturstudie har vi konstaterat att van Hiele´s teori består av fem tankenivåer. Varje nivå uppnås successivt genom en stegvis progression. Progressionen har sin utgångspunkt i det konkreta och strävar mot det abstrakta. Inom van Hiele´s teori har språket en väsentlig roll och lärandet sker i en social kontext. Laboration och konkret material används som medel för att nå nästkommande nivå. En god begreppsförståelse är utvecklad när elever har nått abstraktion, vilket gör att konkret material inte behöver tillämpas mer. Vår slutsats är, inom geometriundervisning måste det finnas en progression från konkret till abstrakt, för att elever ska kunna utveckla god begreppsförståelse. Det finns möjligheter att tillämpa van Hiele´s teori i praktiken, eftersom den kan användas som både undervisningsmetod med hjälp av stöttande faser och som verktyg för bedömning. Van Hiele´s teori kan ge både elever och lärare möjligheter att utveckla matematiska kunskaper inom området geometri och därför anser vi van Hiele´s teori som relevant inför vårt kommande yrke som lärare.

Några av de ändringar som gjordes 2011 i läroplanen för gymnasieskolan var att vektorer lades in i det centrala innehållet för ämnesplanen Matematik 1c. Denna studie behandlar utformandet av uppgifter som testar elevers förståelse för vektorbegreppet där urvalet omfattar gymnasieelever som har läst eller läste kursen Matematik 1c inom perioden för uppsatsen. Metoden som användes var semistrukturerade intervjuer där uppgifterna agerade frågor och eleven fick svara på följdfrågor så att tankebanor, funderingar och hinder skulle kunna observeras.

Svaren som eleverna har gett på de uppgifterna har skapat ett brett spektrum av olika svar, en svarsrymd. Denna svarsrymd har sedermera blivit svarsalternativen till det slutliga test som studien har arbetat fram. Testet har således beprövade uppgifter som är skapade med en rad olika områ-den som utgångspunkter. Utgångspunkterna, tillika inspirationen och stödet i uppgiftsskapande, har varit gymnasieskolans läroplan, ämnesplanen för matematik 1c samt forskning kring möjligheter och hinder i förståelsen för vektorbegreppet. I utformandet såväl som under insamlandet av data har revideringar gjorts och vi har uppmärksammat de hinder och tankar som eleverna haft, som också då finns att tillgå.

Syftet med den här studien är att 1) jämföra upplägget av läromedel i Sverige och i Kina (Shanghai), 2) jämföra de lösningsmetoder som presenteras i läromedlen samt 3) undersöka hur läromedlen präglats av den matematiska kulturen i respektive land. Vår studie bygger på APOS-teorin (kompletterat med PCK), en teori som bland annat beskriver processen av matematikinlärning i olika steg. Studien har vidare gått till så att vi gjort en textanalys och studerat de valda läromedlen, Matematik år 8 (Liu, 2006) för Kina och Exponent B Röd (Gennow m.fl., 2004) för Sverige, för att hitta såväl likheter som skillnader mellan läromedlen. Resultatet av studien sammanfattas till att läromedlen till största delen tar upp samma metoder inom det studerade området. Den upptäckta skillnaden ligger i de övningsuppgifter som presenterats. Exponent B Röd (Gennow m.fl., 2004) innehåller betydligt fler övningsuppgifter som dessutom i många fall har en tillämpande karaktär, medan uppgifterna i Matematik år 8 (Liu, 2006) innehåller färre uppgifter, som oftast är abstrakta och aritmetiska. Detta har vi tolkat som ett resultat av den rådande kulturen i respektive land. Den kinesiska skolan har en starkare betoning på prov och har därför läroboken som en förberedelse inför kommande provtillfällen. Den svenska skolan däremot använder termer som förståelse och lustfyllt lärande, vilket medför att även läroboken försöker spegla detta genom vardagsnära kopplingar, främst i form av övningsuppgifter.

Problemlösning genomsyrar hela läroplanen och är en viktig del av matematik-undervisningen i skolan (Skolverket, 2011a). Att lösa problem kommer naturligt för barn och det är lärarens uppgift att ta vara på den förmågan och hjälpa elever att bli effektiva problemlösare. Förmågan att lösa problem är en viktig kunskap som varje elev har fördel av att kunna (Lester, 1996). Studiens syfte är att undersöka variationen av problemlösnings-strategier som elever använder samt undersöka hur eleverna resonerar när de löser ett problem. 39 elever från två olika skolor i England och Sverige fick lösa ett matematiskt problem och sedan intervjuades 12 av dem med olika lösningsstrategier. Resultatet visade att eleverna använde sig av fyra olika kategorier av lösningsstrategier. De olika kategorierna var: lösningsstrategi genom addition, lösningsstrategi genom addition och subtraktion, lösningsstrategi genom att gissa och resonera, och lösningsstrategi genom att söka mönster. Det fanns även en grupp elever som inte hade någon utläsbar lösningsstrategi. Slutsatsen av studien är att elever behöver explicit undervisning i problemlösning för att till fullo kunna behärska den.

Number sequences can be useful tools for teaching generalization, functions, or variables, for instance. Consequently, there are many studies that have studied students’ perception of number sequences and the strategies used to continue those sequences. However, a large part of the studies have been using arithmetic or quadratic number sequences. In this paper we present a study of students’ strategies to continue non-contextualized geometric number sequences. Interview data from 18 students in grades 9 to 12(age 15-19) (in Sweden) was analysed. Five qualitatively different strategies have been discerned in the data. These strategies are not completely overlapping the strategies previously described in literature.

There can be different intentions with brackets in mathematical expressions. It has previously been suggested that mathematically useless brackets can be educationally useful when learning the order of operations in expressions with mixed operations. This paper reports how students (12-13 years) deal with the implicit mental conflict between brackets as a necessary part of the order of operations and brackets to emphasize precedence. The students taking part in this quasi-experimental study were instructed on the order of operations, but were also indirectly exposed to different use of brackets. It is concluded that emphasizing brackets impede the transfer from a left-to-right computation strategy to the use of precedence rules.

Brackets are essential structure elements in mathematics expressions. However, students have shown to have scattered understanding of the concept of brackets and how they are used in mathematical expressions. In this paper we present data that illustrate students’ perceptions of the word “brackets” and how these perceptions influence their use of brackets in numerical expressions. Based on our data we argue that the teaching of the concept of brackets also need to describe brackets as ordered pairs where each symbol has a unique counterpart and that insertion of brackets can, but does not have to, modify the structure of an expression.

The hypothesis that mathematically superfluous brackets can be useful when teaching the rules for the order of operations is challenged. The idea of the hypothesis is that with brackets it is possible to emphasize the order priority of one operation over another. An experiment was conducted where expressions with mixed operations were studied, focusing specifically on expressions of the type a ± (b × c) with brackets emphasizing the multiplication compared to expressions of the type a ± b × c without such brackets. Data were collected from pen and paper tests, before and after brief (about 7 min) instructions, of 169 Swedish students in year 6 and 7 (aged 12 to 13). The data do not seem to support the use of brackets to detach the middle number (b) from the first operation (±) in a ± b × c type of expressions.

Allt fler skolor satsar idag på att införa digital teknik som ett verktyg i undervisningen, vilket innebär att elevers tillgång till en dator eller surfplatta har ökat. Även om den digitala tekniken har potential att förbättra lärandet, om den används på ett medvetet sätt, sker användandet av den här teknik relativt sparsamt i dagens matematikundervisningen. Den digitala tekniken har således god potential att påverka lärandet positivt men det är viktigt att införandet av tekniken görs med ett tydligt definierat syfte av det som har för avsikt att läras ut och hur det ska ske. Det är en utmaning, inte minst då forskning om hur appar kan användas i matematikundervisningen är begränsad.

Syftet med litteraturstudien är att bidra med kunskap om vilken funktion appar kan fylla för matematikundervisningen i de lägre åldrarna. Litteraturstudien har en kvalitativ ansats där innehållet i 9 tidskriftsartiklar och 2 konferensbidrag har granskats och tolkats. Vid materialanalysen arbetades olika teman fram som sedan användes för att presentera resultatet.

Resultatet visade att användning av appar kan bidra till att höja nivån av motivation och engagemang hos elever. Det framgick även att appar erbjöd en del unika möjligheter som kan vara svåra att uppnå med traditionell undervisning. Till de här hör möjlighet till omedelbar feedback och vägledning, individanpassning och användning av flera sinnen. Slutsatsen är att användning av appar kan ha potential att stärka elevers lärande. Lärare har en viktig roll i att kunna avgöra när en app är ett lämpligt verktyg för att uppnå lektionsmålet eller när traditionell undervisning lämpar sig bättre.

Syftet med litteraturstudien var att utifrån ämnesdidaktisk forskning i matematik belysa hur utomhuspedagogik som arbetsmetod kan påverka elevers lärande i matematik i årskurs 4–6. Avsikten var att kartlägga hur utomhuspedagogik kan bidra till elevers lärande, vilka förmågor elever kan utveckla i matematik med hjälp av arbetsmetoden samt vilka hinder som kan påverka användningen av utomhuspedagogik i matematikundervisningen. Vidare var avsikten att genomföra en litteraturanalys över likheter och skillnader mellan de inkluderade vetenskapliga texterna. De bestod av två forskningsrapporter och flertalet tidskriftsartiklar, vilka resultatet grundades på. När litteraturanalysen var genomförd föll innehållet ut i kategorierna: matematik utomhus, kombinera utomhusmiljön med inomhusmiljön, elevers lust till att lära, utomhuspedagogikens inverkan på minnet och hinder med arbetsmetoden. Resultat som beskrivs i forskningen beträffande elevers lärande i matematik visar att utomhuspedagogik som arbetsmetod i kombination med traditionell klassrumsundervisning kan stärka elevers begrepps- och kommunikationsförmåga. Variationen av undervisning utomhus och inomhus synliggör även matematikämnets roll i vardagen för elever. Resultatet visar även på positiva effekter gällande elevers minne, motivation, lust till att lära och kognitiva förmåga. I resultatet beskrivs även att väder, ljudnivå, tid, lärares oro och självförtroende kan utgöra hinder för användande av utomhuspedagogik som arbetsmetod i matematikundervisning. Slutsatsen utifrån litteraturstudiens resultat är att utomhuspedagogik i kombination med traditionell klassrumsundervisning påverkar och motiverar elevers matematiklärande positivt.

Studiens syfte är att testa, utveckla och jämföra elevers förmåga att lösa förstagradsekvationer samt förenkla algebraiska uttryck där den obekanta variabeln är av, för eleverna, familjär natur, x alternativt y, respektive en godtycklig symbol, till exempel λ eller σ. Deltagarna i studien har gjort ett inledande oförberett test varefter de under höstterminen i årskurs 1 har fått undervisning i ämnet under 32 timmar. Vid terminens slut har eleverna genomfört ett avslutande och likvärdigt test. Totalt har 87 elever på gymnasieskolans teknikprogram deltagit i studien. Materialet i rapporten kommer från elever som började på Ållebergsgymnasiet i Falköping 2011 och 2012.

Här visas med 99 procentig och 72 procentig säkerhet att lösning av förstagradsekvationer och förenkling av algebraiska uttryck upplevs som svårare när de genomförs med en generell symbol, som λ eller σ, jämfört med en känd dito, som x, då elever kommer direkt från grundskolan. Det visas även med 85 procentig och 75 procentig säkerhet att lösningsfrekvensen för uppgifterna är högre då symbolen x används.

Efter 32 timmars extraundervisning i symbolhanterande algebra, där de introducerats för det grekiska alfabetet, så gick lösningsfrekvenserna på likartade uppgifter upp med 30 – 200 % och hamnade i området 0,85 – 0,95. Skillnaden i upplevd svårighetsgrad och lösningsfrekvens försvann inom ekvationslösningen men kvarstod för förenklingsuppgifter.

Studiens resultat visar på en linjär korrelation mellan resultat på det inledande diagnostiska provet och betyg från grundskolan. Elever med betyget G presterar med mer än 90 procentig säkerhet sämre än elever med betyget VG eller MVG. En linjär korrelation mellan lösningsfrekvens och upplevd svårighetsgrad kunde befästas vid såväl det inledande som avslutande testet.

Resultaten har jämförts med resultat från en liknande studie som gjordes kring 2000. Vi fann att eleverna i denna studie högst troligt sämre förberedda från grundskolan då de börjar gymnasiet men efter en termin är de minst lika bra eller bättre. 

Matematiska uttryck skall i så stor utsträckning som möjligt vara entydiga – det ska inte råda tveksamhet över vad som menas. Aritmetiska jämförelser borde inte vara något undantag. Därför kan man tycka att det måste vara tydligt vad aritmetiska jämförelser betyder. Men det finns de som hävdar att aritmetiska jämförelser kan betyda olika saker beroende på hur de presenteras.Syftet med denna studie är att undersöka hur elever i årskurs 4-6 (10-13 år) tolkar aritmetiska jämförelser i matematiska textuppgifter. Med aritmetiska jämförelser menas här proportionella förhållanden som beskriver ett samband, till exempel mellan två storheter.

Studien utgår från dessa frågeställningar:

Skiljer elever på jämförelser som till exempel tre gånger så många och tre gånger fler? Hur uppfattar elever jämförelserna dubbelt och hälften?

Skiljer sig tolkningarna mellan pojkar och flickor?

 Skiljer sig tolkningarna mellan elever med svenska som förstaspråk och elever med svenska som andraspråk?

Studien baseras på enkäter från 188 elever. Analysen visar att den absoluta majoriteten av eleverna i studien tolkar gånger så många och gånger fler som synonyma uttryck. Likaså gör de flesta elever den allmänt vedertagna tolkningen av jämförelserna dubbelt och hälften.

Structure sense är ett begrepp som nyligen har börjat användas inom matematikdidaktik föratt beskriva elevers förståelse för matematiska strukturer. Syftet med det härexamensarbetet är att utforska begreppet structure sense genom att jämföra olikadefinitioner av begreppet. Vidare är syftet också att jämföra structure sense med tre andraliknande begrepp: symbol sense, personal structure och awareness of mathematical pattern and structure. Litteraturstudien bygger på 13 vetenskapliga publikationer som samlades in ochanalyserades. Samtliga publikationer är skrivna av internationella forskare. I resultatetpresenteras och jämförs structure sense utifrån fyra olika definitioner. De olikadefinitionerna av begreppet är riktade mot olika nivåer av matematik men gemensamt förbeskrivningarna är att structure sense uppfattas som en eller flera förmågor som innefattarett mångfacetterat sätt att uppfatta matematisk struktur.

Syftet med studien är att undersöka hur nio elever i årskurs 5 erfar subtraktionstecknet. Studien kommer också presentera och synliggöra elevernas olika uppfattningar och svårigheter kring subtraktionstecknet. Studien har genomförts med hjälp av  kvalitativa intervjuer där nio elever beskriver hur de erfar subtraktionstecknet utifrån olika sammanhang. Den teoretiska utgångspunkten för studien är livsvärldsfenomenologin. Vid analys av studiens datamaterial har teman formats som sedan behandlas i studiens resultatkapitel. Resultatet är att eleverna betraktar subtraktionstecknet som att något ska tas bort eller minskar ett annat tal. Studiens resultat visar också att eleverna anser att subtraktion är svårt, och att fel ofta begås för att det är flera steg vid genomförandet av beräkningarna. Resultatet synliggör också att eleverna inte reflekterar kring sina val av metoder och strategier i samband med beräkningar av subtraktion.

En del svårigheter som elever upplever i algebra kan bero på saknad förståelse av strukturen i matematiska uttryck. Struktur, i det här sammanhanget, syftar på hur en matematisk enhet består av delar, och hur dessa delar är relaterade till varandra. Tidigare studier indikerar också att elevers svårigheter inom algebra beror på bristande aritmetiska kunskaper. Inom aritmetiken kan elever ofta använda informella metoder, medan algebraiska aktiviteter kräver en större medvetenhet om matematiska strukturer. Man har därför hävdat att elevers svårigheter att hantera algebraiska uttryck kan bero på saknad förståelse av strukturen i aritmetiska uttryck. 

Syftet med denna studie är att undersöka hur elever i årskurs 5 beräknar och strukturerar utvecklade aritmetiska uttryck, det vill säga, numeriska uttryck med flera räkneoperationer, som exempelvis 5 · 6 + 4 · 2 · 3. I denna studie behandlas numeriska uttryck med tre eller fyra operationer. 

I studien ingick 116 elever från tre olika skolor. Analysen baseras på data från lösningar av uppgifter på ett skriftligt arbetsblad. Arbetsbladet bestod av tio aritmetiska räkneuppgifter, som eleverna arbetade med individuellt. I analysen av data framkom olika metoder, som eleverna använde för att strukturera och beräkna de aritmetiska uttrycken, speciellt fyra metoder var återkommande i flera uppgifter. Genom de olika tillvägagångssätten som eleverna använde för att beräkna matematiska uttryck kunde olika sätt att skapa struktur upptäckas. Många elever utgick från uttryckens ytliga struktur och endast få elever visade förmåga att urskilja uttryckens dolda struktur. 

Elever kan ibland uppleva svårigheter med representationsformer och därför är studiens syfte att undersöka hur lärare arbetar med olika representationsformer samt hur lärare arbetar för att påvisa samband mellan representationsformer. Studien grundar sig i variationsteoretiska principer. Studiens empiri består av observationer om sex olika lärares helklassgenomgångar av eget valt ämnesinnehåll som har analyserats med hjälp av Ekdahls, Venkats och Runessons teoretiska ramverk (2016). Resultatet av studien visar att lärare använder representationsformen ”skrivna symboler” mest i undervisningen, samt att representationsformerna varierar beroende på vilket ämnesområde lärare undervisar i. Resultatet visar även att lärare använder gester och verbala uttryck för att tydliggöra sambanden mellan representationsformerna.  Slutsatsen är att lärare använder olika representationsformer i undervisningen samt att lärare tenderar att använda olika linking actions i matematikundervisningen för att synliggöra sambanden mellan representationsformer.

Under vår verksamhetsförlagda utbildning uppmärksammade vi att eleverna i årskurs 4-6 uppvisade kunskapsluckor i användandet av olika representationsformer. Den representationsform som eleverna föredrog att arbeta med var symboler. Det väcktes ett intresse att undersöka varför eleverna i huvudsak valde att använda en representationsform vid beräkningar. Litteraturstudiens syfte är dels att öka förståelse för elevers och lärares arbete med olika representationsformer, dels att belysa på vilka sätt de olika formerna av representationer kan vara till nytta för elever i årskurserna 4-6 i matematikundervisningen. Studien fokuserar även på att synliggöra eventuella problem som kan uppstå vid användandet av representationsformer och hur lärare på ett effektivt sätt kan motivera elever att använda olika representationsformer. Arbetet baseras på vetenskapliga artiklar samt litteratur som hittats via informationssökningar. Resultatet av litteraturstudien visar att med hjälp av representationsformer kan elever öka sin matematiska förståelse samt utveckla sitt matematiska tänkande. Forskningen redovisade att elever ofta upplever svårigheter gällande växlingen mellan representationsformer men poängterade även att lärare upplever svårigheter med representationsformer på grund av bristande kunskap. Vidare visar resultatet att läraren har en viktig uppgift i att skapa och upprätthålla en positiv inställning till arbetet med representationer. Centralt i matematikundervisningen måste också vara att kommunikation mellan elev-lärare och elev-elev kring representationsformer sker för att gemensamt utveckla och befästa kunskaperna.

Matematiken har använts i flera tusen år. Även om matematiken i sig utvecklas är det en sak som består: vi använder den i verkligheten. Att arbeta med kopplingen mellan matematiken och verkligheten är ett av matematiklärarnas uppdrag. Tidigare forskning visar att matematikundervisningen i yngre åldrar ska syfta till högre studier och ett mer krävande samhälle där matematikkunskaper, bland annat matematisk modellering, är ett krav för att få en djupare verklighetsanknytning till matematiken. Eftersom matematiken är så viktig på flera plan och lärare måste kunna motivera eleverna till att arbeta med det som lärs ut i skolan, spelar lärarnas egen syn och attityd till verklighetsanknuten matematik en stor roll.

Studien utgår utifrån undervisningsteorin Realistic Mathematics Education och syftar till att bidra med kunskap om hur matematiklärare, som undervisar i årskurs 4-6, kan uppfatta verkligheten i förhållande till sin undervisning. Detta görs genom att utföra sex stycken semi-strukturerade intervjuer med lärare som undervisar matematik på mellanstadiet. För att besvara studiens syfte utgår studien ifrån fyra frågeställningar:

• Vad anser lärare att matematikundervisningens roll är i skolan?

• Hur använder matematiklärare verkligheten i sin undervisning?

• Hur konstruerar matematiklärare en uppgift kopplad till verkligheten för sina elever?

• Hur resonerar matematiklärare kring en matematisk modelleringsuppgift?

Resultatet visar att lärarna är positiva till användandet av en verklighetsanknuten matematikundervisning och att det gynnar eleverna. Flera av lärarna i studien kopplade uttrycket verklighetsanknuten matematikundervisning till större arbeten eller projekt med eleverna och kunde se svårigheter med att hinna med att utföra eller planera dessa aktiviteter. Vid uppgifter som är kopplade till verkligheten läggs större fokus av lärarna på processen än det slutgiltiga svaret. Även diskussion kring uppgifterna ansågs viktigt.

Studien fokuserar på multiplikativt tänkande hos elever i årskurs 3. Multiplikativt tänkande är abstrakt (Clark & Kamii, 1996) och innebär användning av strategier för lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter. Syftet med studien är att undersöka hur elever använder sig av olika strategier inom multiplikativt tänkande vid multiplikation och division. Studien har inspirerats av Grounded Theory. Utifrån teorierna gjordes en semistrukturerad intervju, observationer samt en analys av data. I studien deltog åtta elever i intervjuerna och en pilotstudie inledde undersökningen. Materialet som samlades in bestod av elevernas lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter, anteckningar från observationer av elevernas lösningar samt ljudinspelade intervjuer. Resultatet visar att nästan alla elever använde sig av en additiv strategi i lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter. Det visade även att det endast var fyra av åtta elever som kunde uppvisa förståelse av ett samband mellan de två räknesätten. Resultatet visar att eleverna har olika strategier och lösningar inom multiplikativt tänkande även om de har haft samma matematikundervisning.

Within the phenomenographic tradition the object of learning depicts the capability that is to be learned by the learner (Marton &Booth, 1997). The object of learning can be defined by its critical aspects, since they are seen as necessary for the learner to discern in order to learn. The aim of this paper is to discuss the nature of the object of learning by investigating how its meaning can change as it is explored by teachers. We analyzed seven recorded meetings in which four teachers and a researcher discussed the nature of the object of learning while they were planning, analyzing and revising a lesson. We found that the meaning of the critical aspects identified changed for the teachers due to the discussion and analysis of the lessons and thereby the meaning of the object of learning changed also. From at first being defined, they later become refined and specified as the teachers acquired deeper understanding of the object of learning. Distinctions were made to separate out what was of significance for the object of learning and what is not (the objects external horizon). Furthermore, an exploration by the teachers was made of how different aspects relate to each other (the objects internal horizon). The findings indicate that qualitative differences in teachers’ experience of the object of learning emerge through the collaborative investigation.

This paper investigates how teachers explore the object of learning in a learning study in mathematics. The object of learning depicts the capability that is learned by the learner. For each object of learning there are critical aspects that the learner needs to discern. The aim of the paper is to describe the meanings that the critical aspects have for the teachers at different stages in the learning study process. The study is a part of a lager study in Sweden investigating teachers’ learning from learning studies (LGK-project). In this paper we report on the analysis of seven collaborative meetings, with four teachers and a researcher, from the point of view of how the critical aspects and object of learning are discussed using the framework of variation theory. The object of learning was that students in the 7th grade would understand that in a division, with a denominator between 0 and 1, the quotient becomes larger than the numerator. The study shows that the meaning of the critical aspects, identified by the teachers, changes for the teachers due to the discussion and analysis of the lessons. From at first being defined, they later become refined and more explicit as the teachers get deeper understanding of the object of learning. Furthermore, student learning is enhanced, most likely, by the changes made in the teaching due to the teachers’ deeper understanding of the object of learning.

Within the phenomenographic research tradition, the object of learning depicts the capability that is to be learned by the learner. It has been argued that the object of learning cannot be fully known in advance since what is to be learned depends on the learners as well as on the content taught. The object of learning and its nature needs to be explored. In this paper, we analyze how a group of teachers collaboratively investigated an object of learning when they planned, enacted, analysed, and revised a mathematical task. We describe distinctions made by the group in the inquiry into teaching and learning, and how delimitations and distinctions made transformed the teaching and meaning of the object of learning.

This study concerns pupils’ experience of unit and non-unit fractions of a discrete quantity during specially designed lessons. The aim was to explore pupils’ understanding of operations such as b/c of a in lessons where the teachers were aware of some pupils’ difficulties beforehand and what needed special attention. Five classes were involved in the study and 10 video-recorded lessons and written pre- and post-tests were analysed. Even though the lessons were designed for learning how to operate with both unit and non-unit fractions, we found that more pupils could solve items with unit fractions than with non-unit fractions. We found that few pupils in this study had difficulties with equal partitioning. Instead, it seemed difficult for some pupils to understand the role of the numerator and denominator and to differentiate between the amount of parts and the amount of objects in each part, and some pupils did not differentiate between the numbers of units and the amount of objects within a unit. This study identified some critical aspects that the pupils need to discern in order to learn how to operate with unit and non-unit fractions of a discrete quantity.

Twelve lower secondary schoolteachers in mathematics and science were asked to teach a topic of their choice during a lesson that was video-recorded. We were able to analyse 10 of the cases and we found that all of them were similar in one respect: concepts and principles were introduced one at a time, each one followed by examples of the concept or principle in question, apparently to highlight its essential meaning. All the teachers participated in three modified lesson studies with three cycles in four different groups during three semesters. The modified lesson studies were built on a theoretical idea supported by a large number of recent studies. The theory states that new meanings (of concepts and principles, for instance) are learned through engaging with instances of contrasting concepts and principles. The core idea is that new meanings derive from differences, not from sameness. After the three modified lesson studies, the teachers were asked to once again teach the same topic as in the recorded lessons before the lesson studies. The new lessons were also recorded and the analysis showed that there was one thing in common in all cases: all of the 10 teachers dealt with the relevant concepts and principles in relation to each other (i.e. simultaneously) and not one at a time. By thus bringing out the differences between them, their meaning was made possible to grasp for the students. The study lends support to the conjecture that the modified lesson study is a powerful tool for enabling teachers to structure the content of their teaching in accordance with a principle that is more powerful in making learning possible, even if this contradicts their taken-for-granted practice.